Sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas

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Categoría: 1º Bachillerato
Publicado el Jueves, 10 Mayo 2012 01:09
Escrito por Mariano Herrero


Aplicamos la teoría expuesta en el tema Sistemas lineales con más ecuaciones que incógnitas.
En este caso, puesto que tenemos dos incógnitas, se toman dos ecuaciones y se resuelve el sistema. Una vez hallada la solución se sustituye en la otra ecuación (la que no se ha utilizado).
Si se satisface el sistema es compatible. En caso contrario el sistema es incompatible (no tiene solución).

Ejemplo 1: Resolver el sistema:     Sistema de tres ecuaciones y sólo dos incógnitas compatible

Puesto que hay tres ecuaciones y sólo dos incógnitas, tomamos el sistema formado por las dos últimas ecuaciones:    Sistema de dos de las tres ecuaciones anteriores y dos incógnitas
Utilizando el método de sustitución, despejando la  y  de la segunda ecuación: y = 1 – x.
Sustituyendo en la primera: 3x – (1– x) = 11 => 3x – 1 + x =11 => 4x = 12 => x = 12/4 = 3
Como  y = 1 – x => y = 1 – 3 = – 2

Ahora reemplazamos estos valores en la ecuación que no hemos utilizado: 2x – 3y = 12 => 2·3 – 3·(–2) = 6 + 6 = 12
Satisface la ecuación, luego el sistema es compatible y la solución es: x = 3; y = – 2

Ejemplo 2: Resolver el sistema:   Sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas incompatible
Disponemos de tres ecuaciones y sólo dos incógnitas, cogemos el sistema formado por las dos últimas:    Sistema de 2x2 de las tres ecuaciones anteriores que al sustituir en la otra es incompatible
Empleando el método de sustitución, despejando la  x  de la segunda ecuación: x = 4 – y.
Sustituyendo en la primera: 2(4 – y) + 3y = 9 => 8 – 2y +3y = 9 => y = 1
Como  x = 4 – y =>  x = 4 – 1 = 3

Ahora reemplazamos estos valores en la ecuación que no hemos utilizado: 3x – 2y = 10 => 3·3 – 2·1 = 9 – 2 = 7 ≠ 10
No satisface la ecuación, luego el sistema es incompatible y no tiene solución.