Planteamiento de problemas mediante ecuaciones

Detalles: Categoría: 1º Bachillerato; Publicado el Domingo, 08 Julio 2012 15:11; Escrito por Mariano Herrero

En todo problema hay unas cantidades conocidas que llamamos datos, y otras desconocidas llamadas incógnitas. Una dificultad adicional para el planteamiento de problemas es la falta de familiaridad y destreza en la interpretación que solo la práctica nos enseñará.
No obstante vamos a dar unas pautas que nos ayudarán:

- Leer el enunciado detenidamente tantas veces como se necesite, hasta que se entienda perfectamente, buscando los datos relevantes y la información explícita e implícita.

- Decidir si el problema se plantea con una, dos o más incógnitas (a veces están relacionadas entre sí y se puede disminuir su número, lo que facilita su resolución) y exprésalas con palabras.
Veamos una tabla que relaciona las incógnitas y su traducción al lenguaje ordinario:

Dados dos números consecutivos ...                         x, x +1
Dados dos números pares consecutivos...                                          2x, 2x + 2
Dados dos números impares consecutivos                                         2x + 1, 2x + 3
Tres números pares consecutivos                                                         2x-2, 2x, 2x + 2
Dos números que difieren (se diferencian) en 5                                 x, x - 5
Dos números, uno triple del otro                                                            x, 3x
Dos números, uno sexta parte del otro                   6x, x
Dos números cuyo cociente es 5                         5x, x
Un número y su cuadrado                           x, x²
Un número y su raíz cuadrada        x, raíz de x; mejor           x², x
Dos números cuya razón es 3/4                      3x,4x
Dos números proporcionales a 3 y 5                       3x, 5x
Dos números inversamente proporcionales a 3 y a 4                      x/3, x/4
El cociente entero de dos números es 4 y el resto 2 (D = d·c + r)                 x, 4y + 2
El perímetro de un rectángulo                                                                                   2(x + y)
Valor de un número de dos cifras xy (descomponer en potencias de 10) y + 10x
Valor de un número de tres cifras xyz                                                                     z + 10y + 100x
El 40% de los estudiantes (si x son los estudiantes)                  0,4x
El precio de un elemento x aumenta un 8%                                                          1,08x

- Planteo de las ecuaciones:

Una vez elegidas las incógnitas del paso anterior, nos queda relacionarlas mediante una igualdad para formar las ecuaciones. Normalmente el problema tendrá tantas ecuaciones como incógnitas haya.

La suma de dos números consecutivos es 7                   x + x +1 = 7
La suma de dos números proporcionales a 2 y 5 es 26                 2x + 5x = 26
La suma de los ángulos de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y 5:   2x + 3x + 5x = 180
El cociente entero de dos números es 7 siendo el resto 3 (D = d·c + r)      x = 7y + 3
La hipotenusa de un rectángulo de base x, y altura y es 5              x² + y² = 5²
Un rectángulo cuyo perímetro es 15                       2(x + y) = 15
El área de un rectángulo es 80                       xy = 80
El valor de un número de dos cifras es 24                   y + 10x = 24
El 60% de los estudiantes (x son los estudiantes)              0,6x =
El sueldo base de una persona x sube un 4%                                                1,04x =

Para problemas de edades: Tened en cuenta Presente, Pasado y Futuro; Los AÑOS pasan para todos igual. (no quitarse años)

- Resolución: Por cualquiera de los métodos conocidos:
   - Si sólo hay una incógnita por una ecuación de primer grado.
   - Si tiene dos incógnitas por el método de reducción-sustitución, sustitución, reducción igualación o
   - Si tiene tres o más incógnitas intentar ver si por reducción se resuelve fácilmente y si no por el método de Gauss o Cramer

- Comprobación y discusión: Se deben comprobar los resultados obtenidos a ver si satisfacen las ecuaciones planteadas y sobre todo con el enunciado del problema. Los problemas de personas, animales, etc., las soluciones deben ser números enteros, aunque explícitamente no se diga.

Ejemplo: Dos agricultores salen a la misma hora al encuentro desde pueblos que distan 14 km. Sus velocidades son 4 km/h y 6 km/h respectivamente. ¿Al cabo de cuánto tiempo se encontrarán? ¿Qué distancia habrá recorrido cada uno?

Se puede resolver con una sola incógnita. Llamamos t al tiempo que tardan en encontrarse.
El espacio recorrido por cada uno de ellos viene dado por: (espacio = velocidad· tiempo)

Espacio recorrido por el primero (va a 4 km/h ): e₁ = v₁· t => e₁ = 4t
Espacio recorrido por el primero (va a 6 km/h ): e₂ = v₂· t => e₂ = 6t
Ahora determinamos la ecuación, teniendo en cuenta que la suma de los recorridos de ambos agricultores son los 14 km que les separan => e₁ + e₂ = 4t + 6t = 14 km.

Luego 4t + 6t = 14 <=> 10t = 14     (ecuación de primer grado) que despejando => t = 14/10 = 1,4 horas
Si pasamos a minutos (1 hora = 60 minutos) resulta que tardan en encontrarse; 60·1,4 = 84 minutos; es decir 1 h y 24 min.

Las distancias que ha recorrido cada uno son: e₁ = 4t = 4·1,4 = 5,6 km    y    e₂ = 6t = 6·1,4 = 8,4 km.