Ejemplo de ecuación diofántica
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- Categoría: 1º Bachillerato
- Publicado el Domingo, 19 Mayo 2013 13:55
- Escrito por Mariano Herrero
Con cien duros compré cien puros, de cinco duros, de real y de duro¿ Cuántos puros compré de cada clase?
Para una buena compresión del ejercicio empezamos aclarando el enunciado en el aspecto monetario:
Un duro es el nombre coloquial que se daba a la moneda española de 5 pesetas (el 1 de enero de 2002 entró en circulación en la Eurozona el euro equivalente a 166,386 pesetas); entre sus múltiplos se encuentra los cinco duros, diez duros y veinte duros equivalentes a 25, 50 y 100 pesetas respectivamente.
Un real son 25 céntimos de peseta; o sea que 4 reales hacen una peseta.
Pasamos al planteamiento propiamente dicho:
Sea x el número de puros que compré de cinco duros.
“ y “ “ “ real
“ z “ “ “ duro.
La suma de todos los puros es 100 => x + y + z = 100.
Ahora vamos con las monedas (deben pasarse a una misma unidad y utilizamos como unidad el duro = 5 pesetas):
Puros de 5 duros: 5x
Puros de real: y/20 (un duro equivale a 20 reales).
Puros de duro: z
Pero como también son 100 la suma de las monedas usadas => 5x + y/20 + z = 100
Nos topamos con dos ecuaciones con tres incógnitas 
, y según lo que hemos estudiado, el sistema es compatible indeterminado.
Igualando ambas ecuaciones obtenemos: x + y + z = 5x + y/20 + z = 100
Restando ambas: – 4x + 19/20y = 0 => (quitando denominadores) => –80x + 19y = 0 => 80x –19y = 0
Se ha reducido a una ecuación con dos incógnitas (una recta).
Pero dado las características del enunciado, el conjunto de soluciones está en el conjunto de los números naturales y usaremos las ecuaciones diofánticas para su resolución.
Para ello hallamos una solución particular y a partir de ella la solución general:
Despejamos la y por tener el coeficiente más pequeño: y = 80x/19.
Efectuamos la división: 80x/19 = 4x de cociente y 4x de resto => y = 80x/19 = 4x + 4x/19.
Para que 4x/19 sea entero (19 es número primo) => x = 19 => y = 4·19 + 4 = 80.
Como caso particular también vale: x = 0, => y = 0 => despejando z de la 1ª ecuación: z = 100 –x – y = 100 (todos los puros de duro)
Solución general:
La ecuación es : 80x – 19y = 0
Puesto que x = 19; y = 80; es una solución, deben satisfacer la ecuación: 80x – 19y = 0 => 80·19 – 19·80 = 0
Restando y sacando factor común: 80(x – 19) – 19(y - 80) = 0 => 80(x – 19) =19(y – 80)
=> 
Despejando z de la 1ª ecuación: z = 100 –x – y = 100 = –19 –80t –80 –19t = 1 –99t
Luego solución general: x = 19 + 80t; y = 80 +19t; z = 1 –99t
Si t = 0 => x = 19; y = 80; z = 1 (presisamente la ecuación particular hallada anteriormente).
Si t = 1 => x = 99; y = 99; z = – 98 => No tiene sentido
Si t = 2 => x = 179; y = 118; z = – 197 => Según crece t, las soluciones son más disparatadas.
Si t = –1 => x = – 61; y = 61; z = 100 => No tiene sentido.
Si t = –2 => x = –141; y = 42; z = 199 => No tiene sentido.
Concluyendo: una solución es: x = 0; y = 0; z = 100 (solución casi evidente, 100 puros de duro)
La solución aceptada como buena: x = 19 ; y = 80; z = 1 => 19 puros de 5 duros, 80 de real y 1 de duro.