Método de Gauss

Categoría: 2º Bachillerato
Publicado el Jueves, 15 Marzo 2012 22:19
Escrito por Mariano Herrero


Consiste en sustituir el sistema dado por otro equivalente (que tenga las mismas soluciones), tras sucesivas transformaciones, para conseguir un sistema triangular escalonado. El proceso consiste en hacer CEROS por debajo de la diagonal principal.



Se obtienen sistemas equivalentes:

- Si se intercambian entre sí dos ecuaciones. Si se multiplica (divide) una ecuación por un número distinto de 0.
- Si se hace una combinación lineal de ecuaciones (se suma o resta a una ecuación otra u otras multiplicada por un número).
- Se pueden suprimir las ecuaciones combinación lineal de otras.

 

Resolución de sistemas por Gauss


- Se toma la matriz de coeficientes y separada con una línea vertical, la matriz columna de términos independientes (matriz ampliada).
- Si en alguna ecuación falta alguna incógnita, su coeficiente correspondiente es 0.
- El primer elemento de la primera ecuación (fila) es conveniente que sea 1, aunque no necesario; para ello se intercambian ecuaciones.
- Se hacen trasformaciones por filas (aunque también se pueden hacer por columnas) mediante combinaciones lineales. Se puede hacer varias trasformaciones a la vez.

Por regla general en la diagonal principal (que parte del primer elemento de la primera ecuación (fila)) sobre todo cuando depende de algún parámetro no puede haber CEROS, ya que podemos multiplicar por CERO sin enterarnos; si esto ocurre se deben intercambiar ecuaciones (filas) o incluso columnas (en este caso se intercambian incógnitas).

Si se llega a una situación (0 0 0... 0 | 0), es decir una fila con todos sus elementos CEROS, se puede suprimir esta ecuación (fila).

Si se llega a una situación (0 0 0... 0 | a ≠ 0), significa una situación absurda (el sistema es incompatible, no tiene solución; (rango (A) ≠ rango (A*)); rango (A) es el rango de la matriz de coeficientes, mientras que rango (A*) es el rango de la matriz ampliada.

Si el sistema depende de un parámetro, es conveniente arrinconarlo en el extremo inferior derecho para facilitar las trasformaciones.

Si el sistema es compatible indeterminado (S.C.I.), entonces el sistema tiene infinitas soluciones; las incógnitas dependerán de uno o más parámetros. Este número de parámetros es la diferencia entre número de incógnitas y rango de la matriz de coeficientes (número de incógnitas y número de ecuaciones linealmente independientes).

Ejemplo: Resolver el sistema       Sistema 3x3 a resolver por Gauss


La matriz de coeficientes es:      Matriz de coeficientes del sistema 3x3       y la ampliada:       matriz ampliada del sistema 3x4

 

Nomenclatura operatoria entre filas y columnas


F1, F2 , F3 significa fila 1, 2, 3 respectivamente. Igualmente C1, C2 , C3significa columna 1, 2, 3

F1 <---> F2 se intercambian la fila 1 por la fila 2. De igual modo C1 <---> C3 se intercambian la columna 1 por columna 3.

La nomenclatura de la trasformación se debe poner a la altura de la fila trasformada, apareciendo esta en primer lugar.
F3 + F1  significa que se hace la trasformación sobre la fila 3, cuyo resultado es la suma de la fila 3 con la fila 1.
3F1 – 2F2, la trasformación se hace sobre la fila 1 que se coloca a la altura de esta fila; el resultado es la diferencia del producto de la fila 1 multiplicada por 3 y la fila 2 multiplicada por 2.

Aplicándolo al ejercicio, en primer lugar buscamos CEROS  en  los elementos  a21  y  a31, que hacemos primero uno y luego el otro (no importa el orden) o los dos simultáneamente.  En este ejercicio hacemos dos trasformaciones a la vez.


resolución sistema matriz escalonada por Gauss


Para hacer CERO  a21: Hacemos la trasformación sobre F2 (fila 2); como  a11 = 1 y  a21 = 2, para conseguir CERO   a21,  a la  F2 (fila 2)  restamos  F1 (fila 1) multiplicada  por  2:  F2 – 2F1  que  ubicamos a la altura de la fila 2  (primero  F2)
F2 – 2F1= (2   –1  – 3     3)  – 2 (1    1    2    2 ) =  (2   –1  – 3     3)  –  (2    2    4    4 ) = (0   – 3   –7   –1)  => elementos de la fila 2


P.ara hacer CERO  a31: Hacemos la trasformación sobre  F3 (fila 3); puesto que  a11 = 1 y  a31 = –1, para conseguir CERO   a31,  a la  F3 (fila 3) sumamos  F1 (fila 1): F3 + F1  colocamos a la altura de la fila 3 (en primer lugar F3).


Por último para hacer CERO  a32 ,  necesariamente la combinación lineal ha de ser con la fila 2, pues de otra forma perdemos parte del trabajo ya realizado.

Debemos hacer  la trasformación sobre  F3 (fila 3); como  a22 = – 3  y  a32 = –1, para conseguir CERO   a32 ,  a la  F3 (fila 3)  la multiplicamos por 3 y restamos  F2 (fila 2): 3F3 – F2  que hemos de situar a la altura de la fila 3.

 

Entonces el sistema escalonado equivalente es:       sistema equivalente ya escalonado por Gauss

 

Ahora utilizamos el método de sustitución "hacia atrás", comenzando por la tercera ecuación (despejamos la z) y subiendo hasta la primera.

De la 3ª ecuación:  25z = 25 =>  (25 que está multiplicando pasa dividiendo) z = 25/25  => z = 1
Entrando en la 2ª ecuación con  z = 1 => – 3y –7(1) =  –1 =>  – 3y =  –1 + 7 = 6  => y = 6/(–3)  => y = – 2
Por último entrando en la 1ª ecuación con  z = 1  e  y = – 2  =>  x + (–2) +2·1 = 2   =>  x = 2 + 2 – 2 = 2

Por tanto la solución es:  x = 2; y = – 2; z = 1