Sistemas lineales con más ecuaciones que incógnitas

Categoría: 2º Bachillerato
Publicado el Martes, 08 Mayo 2012 00:10
Escrito por Mariano Herrero


Estamos acostumbrados a ver sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas (sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas o bien sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas) con solución única  y nos sorprendemos cuando nos encontramos con sistemas de ecuaciones con más ecuaciones que incógnitas, como también  sistemas con más incógnitas que ecuaciones.
Los sistemas lineales además de compatibles determinados pueden ser compatibles indeterminados e incompatibles que para nivel avanzado disponemos del  T.  Rouché-Frobenius.

Vamos a estudiar sistemas con más ecuaciones que incógnitas.

 

Para resolver este tipo de sistemas procedemos de la siguiente manera:


Entre todas las ecuaciones dadas se toman, tantas ecuaciones como incógnitas haya, resolviendo el sistema  correspondiente, por cualquiera de los métodos expuestos (sustitución, reducción, e igualación)
-   Si en el proceso nos encontramos con  0x = 0  (también puede ser la incógnita  y , z  u otra), significa que alguna de las ecuaciones con la que se ha obtenido este resultado es combinación lineal de otras (la ecuación no nos da nada adicional y no nos sirve) y por tanto eliminamos. Empezamos de nuevo el proceso tomando tantas ecuaciones como incógnitas.
-   Si durante el proceso observamos  0x = a,   a ≠ 0  (puede ser cualquier otra incógnita) el sistema es incompatible

Las soluciones obtenidas se reemplazan en las ecuaciones restantes (aquellas que no se han tomado para resolver el sistema). Si se satisfacen cada una de dichas ecuaciones, entonces el sistema es compatible y esa es la solución. Si alguna de ellas no se satisface el sistema es incompatible (absurdo) y no hay solución.

También podemos utilizar el método de Gauss, donde  llegaremos a una fila (ecuación) con una de estas dos situaciones:

- Una fila como  (0 0 0... 0 | a ≠ 0)   => El sistema es incompatible (no tiene solución)
- Una o más filas  (0 0 0... 0 | 0)    => se suprimen estas filas y el sistema es:

  ♦ compatible determinado (solución única), si el número de ecuaciones restantes =  número de incógnitas.
  ♦ compatible indeterminado (infinitas soluciones), si el número restante de ecuaciones <  número de incógnitas.
 
Dos ejemplos aclaratorios de esta teoría, uno de cada caso, se  explican en sistemas 3x2.