Programación lineal: ejemplo 1 resuelto

Categoría: 2º Bachillerato
Publicado el Lunes, 10 Octubre 2011 01:31
Escrito por Mariano Herrero

 

Ejemplo 1: En unos grandes almacenes se necesitan entre  6  y  15 vigilantes cuando están abiertos al público y entre  4  y  7 vigilantes nocturnos. Por razones de seguridad debe haber más vigilantes cuando están abiertos. Si el  salario nocturno se paga un  60% más que el diurno, ¿cómo se debe organizar el servicio para que resulte lo más económico posible?.

Sea  x el número de vigilantes diurnos  e  y  nocturnos.
La función objetivo f(x,y) = x + 1,6y    (diurno = 1; nocturno  1 + 60% de 1 = 1 + 0,6 = 1,6)    

Las restricciones son:
    Vigilantes diurnos       x: mas de  6 y menos de 15, luego    6 ≤ x ≤ 15
    Vigilantes nocturnos   y: menos de 7 y mas de 4                   4 ≤ y ≤ 7
    Si está abierto (horario diurno) más vigilantes:                      x > y  => y < x

Mediante la representación gráfica de dichas restricciones, obtenemos la región factible.
Representemos las rectas de estas inecuaciones:  x = 6  y   x = 15, son dos rectas  verticales (perpendiculares al eje x); para ello necesitamos dos puntos de cada recta.

Dos puntos de la recta   x = 6   son   (6, 0)  y  (6, 12)
Para la recta   x = 15   tomamos  estos puntos      (15, 0)  y  (15, 10)

Las rectas  y = 4;  y = 7, son dos rectas  paralelas al eje x; para su gráfica debemos conocer dos puntos de cada recta.

Cualquier valor que tome la   x  ==>  y = 4;  por tanto valen los puntos   (0, 4)  y  (4, 4)        
Para la recta   y = 7    consideramos los puntos    (0,7)  y  (3, 7)        

Para la recta   y =  x ;   Dando valores a x tenemos:   Si  x = 0  ==>  y = 0        Luego punto (0, 0)
                                                                                              Si  x = 4  ==>  y = 4         punto (4, 4)

 



Representando los puntos (6, 0) y  (6,12) en el plano,  trazamos la recta que pasa por ellos y así  tenemos la gráfica de la recta  vertical  x = 6 (en rojo); como la inecuación es  x  ≥  6, resulta que el recinto solución es la región del plano a la derecha  de la recta, cuyo sentido refleja la flecha.


Del mismo modo  con los puntos (15, 0)  y  (15, 10)  conseguimos la gráfica de la recta  vertical   x = 15 (en naranja); la región del semiplano izquierdo de la recta nos da el recinto solución por ser x ≤ 15.


El semiplano superior definido por la recta  y = 4  (en verde claro) que hemos trazado por los puntos  (0, 4)  y  (4, 4)  forma parte del conjunto de soluciones.

Para obtener la gráfica de la recta  horizontal  y = 7 (en verde oscuro) se toman los puntos  (3,7)  y  (0, 7);  la región del semiplano inferior determinado por la recta  será la parte del  recinto solución.

Por último trazando la recta que pasa por los puntos  (0,0)  y  (4, 4)   tenemos la gráfica de la recta  y = x (en azul);  por ser  y ≤ x, el conjunto de soluciones esta limitado por el semiplano trasversal inferior.

La región factible es el conjunto de puntos intersección (comunes) de las regiones del plano solución de cada  una de las inecuaciones;   según el sentido de las flechas de la figura es el recinto cerrado formado por el pentágono de color azul  de vértices A, B, C, D, E.


Método gráfico: Las rectas de nivel asociadas a la función objetivo son: x + 1,6y  = k.
Una de ellas es: 5x + 8y = 0. (se ha multiplicado los coeficientes de las incógnitas  por 5)
Damos dos puntos: Si x = 0 => y = 0.  Si  x = 2 =>  y = - 10/8 = –5/4.    Tenemos los puntos (0,0) y (2, -5/4).


De esta forma tenemos la gráfica de la recta  de nivel (en azul oscuro). Por cada uno de los vértices  A, B, C, D, E  de la región factible se trazan rectas paralelas a la recta de nivel (rectas trazadas por puntos)
Puesto que se trata de minimizar debemos ver cual de esas rectas tiene menor ordenada. En este caso es la recta que pasa por el punto A que es la solución, donde concurren las rectas  x = 6  e  y = 4.
Solución: Se necesitan 6 vigilantes diurnos y 4 nocturnos.


Método analítico: Conocemos que la solución está en uno de los vértices A, B, C, D, E del pentágono (solución única) o bien en alguno de sus lados (infinitas soluciones).
La solución es el punto o puntos donde se hace mínima la función objetivo  f(x, y) = x + 1,6y

Sustituyendo los vértices de la región factible tenemos:


f(A) = f(6, 4) = 6 + 1,6·4 = 12,4                           f(B) = f(15, 4) = 15 + 1,6·4 = 21,4
f(C) = f(15, 7) = 15 + 1,6·7 = 26,2                      f(D) = f(7, 7) = 7 + 1,6·7 = 18,2
f(E) = f(6, 6) = 6 + 1,6·6 = 15,6
En el vértice A la función se hace mínima => f(A) = 12,4. Significa que para hacer el servicio se pagan 12,4 sueldos.