Criterio de divisibilidad por 9

Detalles: Categoría: ESO; Publicado el Jueves, 20 Septiembre 2012 23:57; Escrito por Mariano Herrero

Divisibilidad por 9:

Los divisores de 9 son: 1, 3 y 9. Es cuadrado perfecto: 3² = 9; por eso tiene un número impar de divisores.
Algunos múltiplos de 9 son: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81,..., 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198,...

Criterio del 9: Los restos potenciales de las sucesivas potencias de 10: 10⁰, 10¹, 10², ... respecto módulo 9 son 1, 1, 1,... lo que significa que:

Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es 0 o múltiplo de 9

Ejemplo 1: Comprueba que 175 no es divisible por 9.
La suma de sus cifras 1 + 7 + 5 = 13 no es divisible por 9, lo que equivale a que 175 tampoco lo es.

Ejemplo 2: ¿El número 10089 es divisible por 9?
Aplicamos criterio: sumando sus cifras: 1 + 0 + 0 + 8 + 9 = 18 que es múltiplo de 9, luego 10089 es múltiplo de 9 y por tanto divisible por 9

Ejercicio: ¿Por qué cifra se debe sustituir X en el número 423X8 para que al dividirlo por 9 dé de resto 5?

El enunciado nos dice que si le restamos 5 unidades es divisible por 9, por tanto la suma de sus cifras tiene que ser (0 + 5), (9 + 5), (18 + 5) y en general múltiplo de 9 más 5. La suma de las cifras es 4 + 2 + 3 + X + 8 = 17 + X

Como consecuencia de que X es una cifra de un número => 0 ≤ X ≤ 9.
Por consiguiente la suma de sus cifras está comprendido entre (17 + 0) = 17 y (17 + 9) = 26
Como (0 + 5) = 5 < 17 + X y (9 + 5) = 14 < 17 + X, vemos el siguiente múltiplo que es (18 + 5) = 23 que tiene que ser igual que 17 + X, Luego X = 6
El siguiente múltiplo (27 + 5) = 32 > 17 + X, puesto que como máximo puede ser 26.

De forma análoga comprobamos estos criterios: «7» «16-25»   «19» «33» «53»

Criterio 2: Eliminamos (retiramos) la última cifra al número dado. Al número que queda le sumamos la última cifra que hemos retirado obteniendo un nuevo número. Si este número obtenido es 0 o múltiplo de 9, el primitivo también lo es y en consecuencia divisible por 9.
Este proceso lo seguimos haciendo las veces que haga falta hasta conseguir un número pequeño.

Ejemplo 3: Averigua si 73356 es divisible por 9
Si eliminamos el 6 (última cifra) se obtiene 7335 (decenas) y 6 (unidades).
7335 + 6 = 7342         repetimos el proceso y suprimiendo la última cifra tenemos 734 y 2
734 + 2 = 736
73 + 6 = 79        por último retiramos la última cifra 9 resultando 7 (decenas) y 9 unidades)
7 + 9 = 16,    que NO es múltiplo de 9, lo que entraña que 73356 NO es divisible por 9.