Divisibilidad por 21

Categoría: ESO
Publicado el Martes, 06 Septiembre 2011 20:45
Escrito por Mariano Herrero

 

Criterio de divisibilidad por 21:


Los divisores de 21 son: 1, 3, 7 y 21
Los múltiplos de 21 son: 42, 63, 84, 105, 126, 147, 168, 189, 210, 231,..., 336, 357, 378, 399, 420, 441,...

 

Criterio 1: "Quitamos o eliminamos" la última cifra al número generando un nuevo resultado.
A este nuevo resultado le restamos el doble de la cifra que hemos "quitado", alcanzando un resultado final. Si este  resultado  es divisible por 21, el número primitivo también lo es.

Este procedimiento se reitera las veces que sean necesarias hasta obtener un número pequeño que sea o no  múltiplo de 21.

Ejemplo 1: Estudiar si 2417  es divisible por 21.
Si "quitamos" la última cifra 7, se genera  241 (decenas)  y  7 (unidades);
multiplicando por 2 la última cifra (unidades)  tenemos 2·7 = 14, y aplicando la regla:

241 – 2·7 = 241 – 14 = 227        Ahora se repite con este resultado
                                                      eliminamos el 7 (última cifra) quedando  22 y 7 (última cifra):
22 – 2·7 = 22 – 14 = 8,  que no es múltiplo de 21, lo que conlleva que 2417  no es divisible por 21.

Ejemplo 2: Averigua si 123354 es múltiplo de 21.
Si eliminamos el 4 (última cifra)  se obtiene  12335 (decenas) y 4 (unidades).
12335 – 2·4 = 12327          repetimos el proceso y separando la última cifra tenemos 1232 y  7
1232 – 2·7 = 1218           
121 – 2·8 = 105           por último eliminamos la última cifra 5  ==> 10 (decenas)  y  5   unidades)
10 – 2·5 = 0,   luego   123354 es múltiplo de 21 y por tanto divisible por 21.

Demostración: Multiplicando por 2 el axioma 1 queda:  2N = 20x +2y          
Ahora resto   21x  quedando:   2N – 21x = – x + 2y    
2N – 21x   también es múltiplo de 21   y   cambiando de signo: 21x – N = x – 2y   
El truco consiste en multiplicar la ecuación por un número y restar un múltiplo de 21 de tal forma que en la operación el coeficiente de la x sea la unidad.

Otros criterio de divisibilidad para revisar son:  '7'   ' 11'   ' 13'  16y25  '18'   20,24  33   ' 53'

Criterio 2: La serie de restos potenciales respecto de 21 es: 1, 10, –5, –8, 4, –2.

Decimos que un número es divisible por 21 si la suma de los productos (la cifra de las unidades del número dado por el primer número de la serie; la cifra de las decenas por el segundo número de la serie; etc...) es 0 o múltiplo de 21. Si el resultado obtenido es grande empleamos de nuevo  el criterio con ese resultado.

Ejemplo 3: Veamos como es 12587925:
Como este número tiene 8 dígitos debemos emplear ocho números de la serie, pero esta sólo tiene seis, luego iniciamos de nuevo la serie utilizando los dos primeros (1, 10).

Haciendo la suma:  5·1 + 2·10 + 9(–5) + 7(–8) + 8·4 + 5(–2) +  2·1 + 1·10 = 5 + 20 – 45 – 56 + 32 – 10 + 2 + 10 = 42   que es múltiplo de 21 (21·2 = 42).     Luego  12587925  es divisible por 21.

Ejemplo 4: ¿Es 5809 múltiplo de 21?
Como anteriormente realizamos la suma:
9·1 + 0·10 + 8(–5) + 5(–8) = 9 + 0 – 40 – 40 = –71  que no es múltiplo de 21 (21·4 = 84).     Luego  5809  no  es divisible por 21.
El signo "–"   de   – 71 no se tiene en cuenta.