Criterio de divisibilidad por 7

Categoría: ESO
Publicado el Lunes, 12 Septiembre 2011 21:34
Escrito por Mariano Herrero

 

Divisibilidad por 7:


Los divisores de 7 son: 1 y 7  puesto que es número primo.
Unos cuantos múltiplos de 7 son: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112,.., 182, 189, 196, 203,...

 


Criterio 1: Un número es divisible por 7 cuando la suma de los productos de los dígitos de la serie  {1, 3, 2, –1, –3, –2}  por los dígitos  de las  unidades, decenas, centenas,... del número a probar  es 0  o múltiplo de 7.


Ejemplo 1: Veamos si el  3427  es divisible por 7.
Queda la suma: 7·1 + 2·3 + 4·2 + 3·(–1) = 7 + 6 + 8 – 3 = 18; como 18 no es múltiplo de 7,  resulta que 3427 no es divisible por 7.

Ejemplo 2 : Estudiemos si  7628114  es divisible por 7.
Porque tiene 7 dígitos, emplearemos los seis dígitos de la serie y como necesitamos uno mas, comenzamos de nuevo la serie y tomamos el primero. Así pues iniciando  por las unidades (última cifra)  cada cifra del número  7628114 se multiplica por la serie 1, 3, 2, –1, – 3, –2, 1  y sumamos:
4·1 + 1·3 + 1·2 + 8·(–1) +  2(–3) +  6·(–2) + 7·1 = 4 + 3 + 2 – 8 – 6 – 12 + 7 = 16 – 26 = – 10  que no es múltiplo de 7,  por tanto  7628114  no es divisible por 7.

Los números  35, 49, 63, 77, 91, 112, 119, 133, 147, 161 y 189 son divisibles por  7.

Estudio de otras reglas:   2, 3, 4, 5, 10-    6    -11-   -13-   15   -17-    -19-     -23-   -29-    y 41.

Regla o Criterio del 7:

"Suprime" (quita...) el último dígito del número dado; resta el doble de  ese dígito al número obtenido anteriormente. Si este último resultado es divisible por 7, el número original también lo es. La  regla es reiterante y se emplea las  veces que se necesiten hasta conseguir  números pequeños  que sepamos que son divisible por 7.

Ejemplo 3: Estudia el número 678249.
Se "suprime" la última cifra  9,  quedando  67824 (decenas)  y  9 (unidades); fijamos criterio:
63824 – 2·9 = 63806            "quita"  el 6 (último dígito) y tenemos  6380 (decenas)  y  6; aplicamos criterio:
6380 –  2·6 =   6368            si "suprimimos"  la última cifra  8, se obtiene  636   y  8;
636 –   2·8 =  620
62 –  2·0 =   62
Como 62 no es múltiplo de 7,  678249  tampoco lo es.

Criterio 3:   "Eliminamos" (retiramos...) los dos últimos dígitos al número ; hacemos la diferencia entre el resultado obtenido y  el triple del número formado por esos dos últimos dígitos. Si esa diferencia  es  0 o múltiplo de 7 el número primitivo es divisible por 7. El proceso se repite cuantas veces sea preciso.

Ejemplo 4: Estudiamos el número  64736.
Se "eliminamos" las dos últimas cifras 36, se obtiene  6473 (centenas)  y  36; lo denotamos   647·100 + 36  y aplicando criterio:
647 – 3·36 = 647 – 108 = 539          Retirando el 39 (últimas dos cifras) queda  5 (centenas) y  39.
5 – 3·39 = 5 – 117 = –112           se hace positivo y  se elimina el 12 (dos últimas cifras) y  tenemos  1 (centenas) y  12.
1 – 3·12 = 1 – 36 = –35       que es múltiplo de 7, lo que significa que el número  64736  es divisible por 7.

Ejemplo 5: Veamos 39216782.
Si "eliminamos" las dos últimas cifras  82 obtenemos  392167 (centenas)  y  82
392167 – 3·82 =  392167 – 246 = 391921        "retiramos" dos últimas cifras  21, conseguimos 3919 (centenas)  y  21
3919 – 3·21 = 3919 – 63 = 3856         
38 – 3·56 =  38 – 168 = – 130         (el signo no cuenta  y eliminando  30  queda  1 (centenas) y 30
1 – 3·30 = 1 – 90 = – 89   que no es múltiplo de 7  (13·7 = 91), luego  39216782  no es divisible por 7.

Demostración: Si multiplicamos la ecuación del axioma 2 por 3  –––>   3N = 300x + 3y  y restando  43·7x = 301x  a los dos miembros el número resultante  x – 3y  también lo es.