Divisibilidad por 39

Categoría: ESO
Publicado el Domingo, 25 Septiembre 2011 00:57
Escrito por Mariano Herrero

 

Criterio de divisibilidad por 39:


Los  divisores de 39: 1, 3, 13 y 39. Su factorización  es 3·13 = 39, por tanto ha de ser divisible por 13 y 3.
Unos cuantos múltiplos de 39 son: 78, 117, 156, 195, 234, 273, 312, 351, 390, 429, ..., 507, 546, 585, 624, 663,...

Criterio 1: Los restos potenciales módulo 39 es la sucesión: 1, 10, –17, –14, 16 y 4.

Hacemos las multiplicaciones de la cifra de las unidades, decenas, centenas,... del número dado por los números de la sucesión 1, 10, –17,...(primero por primero, segundo por segundo...). Decimos que el número es divisible por 39, si la suma de estas multiplicaciones es 0 o múltiplo de 39.

Ejemplo 1: Prueba que 1374399 es múltiplo de 39.
Si el número tuviera más de 6 cifras que consta la sucesión, se empieza de nuevo la sucesión hasta finalizar con todas las cifras del número.
La suma de los productos son: 9·1 + 9·10 + 3(–17) + 4(–14) + 7·16 + 3·4 + 1·1 = 9 + 90 – 51 – 56 + 112 + 12 + 1 = 224 – 107 = 117.

Como el número es grande repetimos el proceso con este resultado.
Hacemos suma: 7·1 + 1·10 + 1(–17) = 17 – 17 = 0, lo que significa que es múltiplo de 39.

Podemos cotejar otros criterios de divisibilidad del  7    '11'   '17'  '20-24'  '22'   '23'   '41'   '53'

 

Regla o Criterio del 39:

                                                  Si "quitamos" la última cifra al número, tenemos la suma de dos partes: número de decenas y unidades. Por ejemplo el número 56719 lo escribimos así: 5671·10 (número de decenas) + 9 (unidades).

Un número  es divisible por 39  si la adición del número obtenido al "quitar", o eliminar la cifra de sus unidades al número a verificar más el cuádruple de esas unidades es 0 o múltiplo de 39. Esta regla es recurrente.  

Ejemplo 2: Estudiar si el número 7909315  es divisible por 39.
Si "quitamos" la última cifra 5 (unidades), se obtiene  790931 (decenas) y 5; aplicamos criterio:
790931 + 4·5 = 770951            "eliminamos" 1 (última cifra) quedando 77095 (decenas) y 1:
77095 + 4·1 = 77099               suprimimos el  9 (última cifra) y generamos 7709  y 9:
7709 + 4·9 = 7745        
774 + 4·5 = 794                 retiramos última cifra 4, y tenemos 79 (decenas) y 4:
79 + 4·4 = 95                  por último "separamos" 5, que es última cifra y queda 9 (decenas) y 5:
9  + 4·5 = 29        que no es múltiplo de 39,  luego  7909315  no es divisible por 39.

Ejemplo 3: Averigua si 1755 es divisible por 39.
Si "eliminamos" la última cifra 5 (unidades) , se obtiene  175 (decenas) y  5; fijando regla:
175 + 4·5 = 195           "quitamos" 5 (última cifra) y se obtiene 19 (decenas)  y  5 (unidades):
19 + 4·5 = 39       que es múltiplo de 39,  luego  1755 es divisible por 39.

Demostración: Al multiplicar por 4 la ecuación del axioma 1,  y restar  39x (múltiplo de 39) queda   4N – 39x = x + 4y.