Ejercicio de programación lineal. PAEG 2011. Canarias

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Categoría: 2º Bachillerato

Publicado el Martes, 13 Marzo 2012 22:41

Escrito por Mariano Herrero

Antes de salir a pescar, un armador ve que el precio del sargo está a 15 €/kg y que el peto está a 10 €/kg. Las cuotas pesqueras le imponen que sus capturas no pueden sobrepasar las 32 toneladas y que la cantidad de sargo, que no puede superar las 18 toneladas, puede ser, como máximo, el triple de la de peto. Además, debe cumplir con un compromiso con un distribuidor de pescado al que le ha vendido anticipadamente 9 toneladas del sargo que ha de pescar.
a) ¿Qué cantidad de cada especie debe pescar para maximizar sus ingresos?
b) Para maximizar sus ingresos, ¿deberá capturar el máximo permitido? PAEG Canarias septiembre 2011

Sea x el nro de toneladas de sargo a pescar e y las de peto.
Función objetivo: beneficio que obtenemos por las capturas de sargo y peto; puesto que el kilogramo de sargo se paga a 15€ (1 tonelada = 1000 kg) y el kg de peto a 10€ => f(x, y) = 15·1000x + 10·1000y = 15000x + 10000y

Restricciones:   x + y ≤ 32 => y ≤ 32 – x                las capturas totales no pueden sobrepasar las 32 toneladas.
                              x ≤ 18                                               no se puede sobrepasar las 18 toneladas
                              x ≤ 3y => y ≥ x/3                             sargo como máximo el triple que de peto
                              x ≥ 9                                                 tiene ya comprometido a un distribuidor
                              y ≥ 0

La región factible (recinto de soluciones) es la región del plano limitado por las inecuaciones que nos proporciona el enunciado. Por tanto vamos a dibujar dicha región.

Para ello representamos las cuatro rectas correspondientes a las inecuaciones de las restricciones:
Recordar que para trazar una recta necesitamos dos puntos (podemos elegir los puntos que queramos), y se consigue dando valores.
Dos puntos de la recta  x + y = 32  son (0, 32) y (32, 0)
La recta  y = x/3  pasa por (0, 0) y (18, 6). Las rectas  x = 18  y  x = 9  son verticales, paralelas al eje Y
Trazando las rectas por los puntos indicados, obtenemos el gráfico cuya región factible es el trapecio ABCD.

La solución óptima está en uno de los vértices del trapecio ABCD.
Los puntos A, B, C y D son la intersección de las rectas que pasan por cada punto. Para hallar las coordenadas, se resuelve el sistema formados por las dos rectas que concurren en el punto.
El punto A es la intersección de las rectas  x = 9  y  y = x/3  que pasan por él. Si x = 9 => y = 9/3 = 3 => A(9, 3).
Igualmente el punto B(18, 6) se obtiene resolviendo el sistema {x = 18; y = x/3}.
Por el punto C pasan las rectas  x = 18  y  x + y = 32 ; de esta última y = 32 – x = 32 –18 = 14 => C(18, 14).
Para hallar las coordenadas de D, se resuelve el sistema de las dos rectas que inciden en el, {x = 9 y x + y = 32} => D(9,23).

Con el fin de optimizar los ingresos lo hacemos por dos métodos:

Método gráfico:
Una de las infinitas rectas de nivel asociadas a la función objetivo (la más fácil que pasa por el origen de coordenadas) es la recta: 15000x + 10000y = 0 => (simplificando por 5000): 3x + 2y = 0
Trazando rectas paralelas a esta por los puntos A(9, 3), B(18, 6), C(18, 14) y D(9,23), obtenemos las rectas punteadas de la gráfica.
La solución óptima, pues se trata de maximizar, es la recta punteada que corta al eje Y con mayor ordenada. Se observa que es la que pasa por el punto C(18, 14). Por tanto la solución es: 18 toneladas de sargo y 14 de peto.
Evidentemente 18 toneladas de sargo + 14  de peto = 32, lo que significa que captura el máximo permitido.
Los ingresos obtenidos son: F(x,y) = 15000x + 10000y =15000·18 + 10000·14 = 410000 €.

Método analítico: Puesto que sabemos que la solución está en los vértices de la región factible ( en el trapecio ABCD), sustituimos las coordenadas de estos puntos en la función objetivo.

F(A) = F(9, 3) = 15000x + 10000y =15000·9 + 10000·3= 165000 €
F(B) = F(18, 6) =15000·18 + 10000·6= 330000 €
F(C) = F(18, 14) = 15000·18 + 10000·14 = 410000 €.
F(D) = F(9, 23) = 15000·9 + 10000·23 = 365000 €.
La solución óptima es el vértice que hace máxima la función objetivo, que corresponde a  C(18, 14) =>F(C) = 410000 € como ya habíamos visto antes.

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