Sistemas de ecuaciones: método de reducción


Estudiamos uno de los mejores métodos para para resolver sistemas:
- sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
- sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

 

Sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas


Método de reducción: Consiste en eliminar una de las incógnitas mediante una combinación lineal (multiplicar las ecuaciones por un número para que la incógnita a eliminar tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones) de las ecuaciones, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. Después se repite con la otra incógnita.

Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema:    Sistema de 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas para resolver por reducción

Eliminamos la incógnita x: como en la 1ª ecuación el coeficiente de la x es 2 y en la 2ª es 1, multiplicamos ésta por − 2    Hacer  una combinación lineal y sumar para eliminar la x
quedando una ecuación con una incógnita, que despejando tenemos (− 9 que está multiplicando a la y, pasa dividiendo al otro miembro): y = −9/(−9) = 1

De igual forma eliminamos la y: como en la 1ª ecuación el coeficiente de la y es −1 y en la 2ª es 4, multiplicamos la 1ª por 4:     Hacer  una combinación lineal y sumar para eliminar la y

como antes, queda una ecuación con una incógnita, que despejando tenemos (9 que está multiplicando a la x, pasa dividiendo al otro miembro): x = 36/9 = 4
Solución: x = 4; y = 1

 

Método de reducción –sustitución


En la práctica se usa el método de reducción –sustitución (como la propia palabra indica es una mezcla de ambos métodos). Primero se reduce una incógnita como se ha expuesto anteriormente y luego se sustituye este resultado en la otra.

Ejemplo 2: Resolver el siguiente sistema:    Sistema de 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas para resolver por reducción-sustitución
Eliminamos la incógnita y, ya que tiene coeficientes opuestos, que sumando conseguimos:    Eliminamos la incógnita y en método reducción-sustitución
así obtenemos una ecuación con una incógnita, que despejando tenemos x = 3/3 = 1
sustituyendo éste valor de x en la 2ª ecuación resulta: 1 + y = 0 => pasando el 1 del primer miembro al 2º con signo “ − “ obtenemos y = − 1
Solución: x = 1; y = −1

Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas


Aplicamos el método de reducción: Tomamos dos ecuaciones cualesquiera y eliminamos una incógnita, resultando una ecuación con dos incógnitas; ahora tomamos la que queda con una cualquiera de las dos tomadas anteriormente y eliminamos la misma incógnita que en el caso anterior, resultando otra ecuación con las dos incógnitas anteriores. De esta forma hemos reducidos el sistema a dos ecuaciones con dos incógnitas.
Se deben seguir las pautas indicadas, pues en caso contrario llegaremos a  una igualdad como  CERO = CERO, nos liaremos y  y no resolveremos el sistema.
Ejemplo 3: Resolver el siguiente sistema:    Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para resolver por reducción
Tomamos las dos primeras ecuaciones y eliminamos la incógnita x: como en la 1ª ecuación el coeficiente de la x es 2 y en la 2ª es 1, multiplicamos ésta por −2: Se reduce la x de las dos primeras ecuaciones y así se obtiene una ecuación con dos incógnitas en y y en z

Tomamos la ecuación que queda (la 3ª) con una cualquiera de las dos tomadas anteriormente (elegimos la 2ª): Se reduce la x de la segunda y tercera ecuación y así se obtiene otra ecuación con dos incógnitas en y y en z

Así conseguimos el sistema equivalente (segunda ecuación del sistema inicial más estas dos ecuaciones donde se ha reducido la x):     Sistema equivalente al dado pero con dos de las ecuaciones con solo dos incógnitas: y y z
Elegimos estas dos últimas ecuaciones, y de nuevo por reducción, eliminamos la z; como en la 1ª ecuación el coeficiente de la z es 3 y en la 2ª es 1, multiplicamos ésta por − 3: Ya se había reducido la x y ahora se reduce la y

queda una ecuación con una incógnita, que despejando tenemos y = −14/(−14) = 1
sustituyendo éste valor de y en la 2ª ecuación resulta: 3·1 + z = 1 => 3 + z = 1
pasando el 3 del primer miembro al 2º con signo “ − “ queda  z =1− 3 = − 2
Con estos valores de y = 1 y z = − 2 sustituimos en la 2ª ecuación del sistema inicial y se obtiene: x + 1 – (– 2) = 6 => x + 1 + 2 = 6 => x + 3 = 6 => x = 3
Solución: x = 3; y = 1; z = − 2