Criterio de divisibilidad por 13
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- Categoría: ESO
- Publicado el Miércoles, 14 Septiembre 2011 01:36
- Escrito por Mariano Herrero
Divisibilidad por 13:
Los divisores de 13 son: 1 y 13 ya que es número primo.
Algunos múltiplos de 13 son: 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117, 130, 143, 156, 169, 182, ..., 234, 247, 260, 273, 286,...
Criterio 1: Un número es divisible por 13 cuando la suma de los productos de las unidades, decenas, centenas,... de dicho número por los dígitos contenidos en la lista {1, –3, –4, –1, 3, 4 } es 0 o múltiplo de 13.
Ejemplo 1: Veamos si 25971309 es divisible por 13.
Por tener 8 cifras y la lista sólo 6, se completa la lista y se comienza de nuevo la lista utilizando sus dos primeros números.
Sumamos los productos 9·1 + 0·(–3) + 3·(–4) + 1·(–1) + 7·3 + 9·4 + 5·(1) + 2(–3) = 9 + 0 – 12 – 1 + 21 + 36 + 5 – 6 = 71 – 19 = 52 que es múltiplo de 13 (13·4 = 52) , luego 25971309 es divisible por 13.
Ejemplo 2: ¿La división 53927 entre 13 es exacta?
Si la división es exacta el resto es 0 y significa que 13 divide a 53927.
La suma: 7·1 + 2(–3) + 9(–4) + 3(–1) + 5·3 = 7 – 6 – 36 – 3 + 15 = 7 + 15 – 6 – 36 – 3 = 22 – 45 = –23 no es múltiplo de 13, luego la división pedida no es exacta.
Algunas otros criterios (reglas) para revisar son: 2, 3 y 4; 5,10 -6- -7-, -11-, -17-, -19-, -23-, -29-, -31- 41.
Criterio o Regla del 13:
"Quita" (elimina...) el último dígito del número a verificar; multiplica por 9 ese dígito y réstalo del número obtenido. Un número es divisible por 13 si y sólo si este nuevo resultado es 0 o múltiplo de 13. Esto se puede usar tantas veces como se quiera hasta obtener un número más pequeño que sepamos es o no múltiplo de 13.
Ejemplo 3: Aplicarlo a 63174046.
"Quitando" la última cifra, que es 6, se obtiene 6317404 (decenas) y 6 (unidades) quedando:
6317404 – 6·9 = 6317350 "eliminamos" la última cifra 0, generando 631733 (decenas) y 0
631735 – 0·9 = 631735 si quitamos el 5 (última cifra) se obtiene 63173 (decenas) y 5
63173 – 5·9 = 63128
6312 – 8·9 = 6240
624 – 0·9 = 624
62 – 4·9 = 26
que sabemos que es divisible por 13 (13·2 = 26), por lo que 63174046 también lo es.
Ejemplo 4: Estudia si 49210 es múltiplo de 13.
Si "quitamos" la última cifra, que es 0, se obtiene 4921 (decenas) y 0 (unidades). y según regla:
4921 – 0·9 = 4921 eliminamos el 1 (última cifra) y tenemos 492 (decenas)
492 – 1·9 = 483
48 – 3·9 = 48 – 27 = 21 que no es múltiplo de 13, por tanto 49210 no es divisible por 13.
Criterio 3: "Suprimimos" (separamos...) las dos últimas cifras al número. Un número es divisible por 13 cuando la adición del número obtenido y el triple del formado por esas dos últimas cifras es 0 o múltiplo de 13.
Ejemplo 5: ¿Es divisible por 13 el número 567125?
Si "suprimimos" sus dos últimas cifras 25, se genera 5671 (centenas) y 25 y fijando criterio:
5671 + 3·25 = 5671 + 75 = 5746 separamos las dos últimas cifras 46 obtenemos 57(centenas) y 46
57 + 3·46 = 57 + 138 = 195 que es múltiplo de 13 (13·15 = 195).
Llegados a este punto, no es conveniente seguir con este método, pero proseguimos con cualesquiera de los dos anteriores.
Así usando el anterior: 195 ––> se quita última cifra
19 – 5·9 = 19 – 45 = – 26 que sabemos que es múltiplo de 13. Luego 567125 es divisible por 13.
Deducimos este criterio: multiplicando la ecuación del axioma 2 por 3 y haciendo la sustracción 23·13x = 299x (múltiplo de 13) queda el resultado x + 3y