Problema de ecuación diferencial: ¿a qué hora empezó a nevar?


Está nevando con regularidad (con intensidad constante y se supone que la velocidad de la máquina es inversamente proporcional a la altura de nieve). Una máquina quitanieves sale a las  12 del mediodía y recorre 2 kms en la 1ª hora y 1 km en la 2ª hora.¿A qué hora empezó a nevar?


Un problema a simple vista enigmático y curioso, que me propusieron cuando estudiaba en la Facultad, pues parece que los datos son insuficientes, y que ahora resolvemos.

Sea t0 el tiempo trascurrido desde que empezó a nevar hasta las 12 horas que sale la máquina quitanieves y  t el tiempo pasadas las 12.
Sabemos que la velocidad es la derivada del espacio respecto del tiempo, y que según enunciado se supone inversamente proporcional  a la altura h que en cada momento alcanza la nieve.

Luego la velocidad de la máquina es: v = ds/dt = k/h  km/hora   (k es una cte.)
La altura h de la nieve es proporcional al tiempo trascurrido  t0 + t  (a más tiempo => más altura), pues nieva con regularidad. => h = k1(t0 + t)    (k1  es otra constante)
Sistema 5x3 dependiente de dos parámetros

(se ha aplicado la propiedad de que la resta de logaritmos es igual al logaritmo del cociente)

Puesto que recorre 2 kms en la 1ª hora y 1 km en la 2ª hora
Para  t = 1, el espacio recorrido   s = 2 km
Para  t = 2 (pasadas dos hora ha recorrido 2 km  en la 1ª hora + 1 en la 2ª = 3 km  =>  sustituyendo ambos valores en la ecuación anterior:

Sistema 5x3 dependiente de dos parámetros

La solución  t0 = –1,30901699  horas no tiene sentido, pues empezó a nevar antes de las 12.
Solución  t0 = 0,618033988 horas = 37 minutos  y  4,922  segundos antes de las 12.

Empezó a nevar a  12 horas – (37 minutos  y  4,922 segundos) = 11 horas, 22 minutos,  55,078 segundos.