Ejercicios de matrices Castilla la Mancha paeg 2012

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Categoría: 2º Bachillerato
Publicado el Viernes, 06 Julio 2012 17:44
Escrito por Mariano Herrero


Ejercicio 1: a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 7·I – 2·X + A·X = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad).


b) Si    Matriz de orden 2, calcula la matriz X que cumple A·X = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.
Castilla la Mancha PAEG junio 2012 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Solución: a) Este tipo de ecuaciones matriciales se despejan como si fuera una ecuación de primer grado, pero teniendo en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo (no es lo mismo multiplicar una ecuación matricial por otra matriz por la izquierda que por la derecha) y que dos matrices no se pueden dividir:
7·I – 2·X + A·X = B  =>  A·X – 2·X = B – 7·I  =>  (A– 2·I)X = B – 7·I
multiplicando por la izquierda por (A– 2·I)-1: (A– 2·I)-1 (A– 2·I)X = (A– 2·I)-1(B – 7·I)  =>  X = (A– 2·I)-1(B – 7·I)

b) A·X = I => multiplicando por la izquierda por la inversa de A, (A-1): A-1A·X = A-1·I  =>  X = A-1
Luego debemos hallar la inversa de A. Lo hacemos por determinantes. A-1 = (Adj(A))t/|A|
|A| = 3 – 0 = 3 ≠ 0  =>  Luego A tiene inversa.
Para hallar la adjunta: A11 = 1; A12 = –7; A21 = 0; A22 = 3   =>  Se halla matriz inversa de orden 2 mediante determinantes


Ejercicio 2: a) Sean A y B matrices cuadradas de orden n € N, n ≥ 2, tales que B es la inversa de A:
Si |A| = 3, razona cuánto vale |B|
¿Cuál es el rango de B?

b) Calcula el determinante de la matriz cuadrada X de orden 3 que verifica: Ecuación matricial de 3 matrices de orden 3
Castilla la Mancha PAEG junio 2012 Matemáticas II

Solución: a) Puesto que B es inversa de A  =>  A·B = B·A = In         (In es la matriz identidad de orden n).

Haciendo uso de esta Propiedad: Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n, entonces det(A)·det(B) = det(A·B).

Aplicándola a los datos del ejercicio: 3·det(B) = det(A·B) = det(In) = 1  =>  det(B) = 1/3
Puesto que B es inversa de A, han de ser del mismo orden y de rango n. (det(B) = 1/3 y det(A) = 3).

b) Llamando     Se llamann A, B a las matrices dadas
Pero det(A) = 21; det(B) = 21
Por la propiedad anterior: det(A)·det(X) = det(A·X) = det(B)
Reemplazando valores: 21·det(X) = 21  =>  det(X) = 1