Ejercicio de matrices. Paeg 2012 Castilla la Mancha

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Categoría: 2º Bachillerato

Publicado el Jueves, 29 Noviembre 2012 23:44

Escrito por Mariano Herrero

Dadas las matrices  

a) Calcula Aⁿ cuando n € N es par
b) Resuelve la ecuación matricial  6A²⁰X = B – 3AX, donde X es una matriz cuadrada de orden 3.
(Indicación: Sustituye de inicio el valor de A²⁰ para facilitar los cálculos)
PAEG Castilla la Mancha junio 2012R   Matemáticas II

a) Para hallar Aⁿ , determinamos A², A³, A⁴ y observamos el proceso de formación:


Percibimos que el proceso se repite. Así pues Aⁿ = I (matriz unidad) si n es par; Aⁿ = A  si n es impar.

b) Puesto que A²⁰ tiene exponente par, A²⁰ = I => 6A²⁰X = B – 3AX => 6I·X = B – 3AX => 6I·X + 3AX = B
Sabemos que el producto de matrices no es conmutativo, sacando factor común por la derecha la matriz X: (6I + 3A)X = B
Pero la matriz  B = 3I => (6I +3A)X = 3I
Para despejar la matriz X (no existe la división de matrices) multiplicamos por la izquierda por  (6I +3A)^-1 => (6I +3A)^-1·(6I +3A)X = (6I +3A)^-1·3I => X = 3(6I +3A)^-1

Calculamos  (6I +3A) = La inversa de esta matriz se determina por el método de Gauss:

- Colocamos la matriz que queremos hallar su inversa y a continuación la matriz unidad del mismo orden; hacemos las trasformaciones lineales pertinentes a ambas matrices, hasta conseguir que la primera matriz sea la matriz unidad; entonces la otra matriz es la inversa.



Luego X = 3(6I +3A)^-1 => X =

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