Ejercicio de análisis. Paeg 2011 Madrid


Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = 2x3 + ax2 + bx − 6.
a) Calcúlense a, b  para que la función f  tenga un máximo relativo en x = 1 y un mínimo relativo en x = 2.
b) Para a = b = 0, calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f  y la recta de ecuación  y = 8x − 6.
Comunidad Madrid paeg 2011.

 

a)  Para hallar los máximos y mínimos tenemos que derivar: f'(x) = 6x2 + 2ax + b

Igualando a cero => 6x2 + 2ax + b = 0
Como f  tiene máximo relativo en x = 1 y mínimo relativo en x = 2, significa que  x = 1 e  x = 2 son raíces de dicha ecuación; por tanto la satisfacen.

Para x = 1  => 6 + 2a + b = 0            => 2a + b = 6
Para x = 2  => 6·22 + 4a + b = 0       => 4a + b = 24

sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que tiene por solución a = 9, b = 12.

b) Si a = b = 0, f(x) = 2x3 − 6. Para hallar el área limitada por esta función  y la recta  y = 8x − 6
tenemos que determinar los puntos de intersección de ambas. Para ello resolvemos la ecuación polinómica  2x3 − 6 = 8x − 6  => 2x3 − 8x = 0 =>  x(2x2 − 8) = 0 cuyas soluciones son 2, 0 y 2.  Ver gráfica.

 

Gráfica intersección de una curva de tercer grado y una recta

 

Cuidado: no podemos integrar entre –2 y 2, pues entre –2 y 0 la función está por encima de la recta y entre 0 y 2 está por debajo y el área nos daría CERO (pues la función diferencia   2x3 − 8x  es impar y las dos áreas son iguales).
 
Luego el área pedida es: 

Integralentre 0 y 2 para hallar área