NUMEROS ENTEROS. JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES


Si sólo interesa  la jerarquía de las operaciones  con potencias, productos, paréntesis, operaciones combinadas, etc..., se estudia ampliamente en el enlace.

El conjunto de los números enteros se representa por  Z. Se realizan las mismas operaciones que se han visto con los números naturales.
 
Z = {.... –5, – 4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ,5 .........}

Los números enteros pueden ser positivos (son los naturales) y  negativos, aquellos que van precedidos por el signo “–“. Son números negativos: – 4; – 1; – 23.

Cuando a los signos  de la suma  “+”  o de la resta ““, le sigue un número negativo, éste se escribe entre paréntesis. Nunca hay dos signos seguidos ( 8 + – 4  no es correcto).
 
Ejemplos:  7 + (– 3) = 7 – 3 = 4;        5 – (– 2) = 5 + 2 = 7

Esto se traduce en la regla de los signos:

(+)·(+) = + (se lee mas por mas igual a mas).
(+)·(–) = – (se lee mas por menos = menos).  
(–)·(+) = – (se lee menos  por mas = menos).
(–)·(–) = + (menos por menos = mas);
Resumiendo: Si tienen el mismo signo el resultado es  +  y si tiene distinto signo es 

En las explicaciones del tema hay unos cuantos ejemplos o ejercicios resueltos, que el alumno (estudiante) debe intentar resolver por su cuenta.

 

Valor absoluto de un número

Se llama valor absoluto de un número entero al número resultante  de eliminar el signo, siendo siempre positivo (si es positivo queda como está y si es negativo se le quita el signo). El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por "| |".      |3| = 3;  |– 23| = 23;

 

Representación de los números enteros


El conjunto de los números enteros  Z  se representa sobre una recta.


El orden de dos números enteros: ( "<" se lee menor que; ">" se lee mayor que)

En el gráfico los números van desde  – ∞ hasta  + ∞   y  – p < 0 < 1 < q < r; para comparar una pareja será menor el que se encuentre más a la izquierda.

– Si tiene el mismo signo:
    – si son positivos es menor aquel que tenga menor valor absoluto.
    – si son negativos será menor el de mayor valor absoluto.
– El  0  es mayor que todos los negativos y es menor que todos los positivos
– Cuando hay dos números enteros con signos distintos como  q  y   – p, el negativo es  siempre el menor.

 

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS: suma, resta, multiplicación, división y potenciación

Suma de números enteros

Propiedades:

Interna: Porque el resultado de sumar dos números enteros, es otro número entero (4 + 9 = 13)  
Asociativa: 7 + (3 – 5) = (7 + 3)  – 5 = 7 + 3  – 5 = 5.
Elemento neutro: Es el CERO (0), pues si a cualquier número le sumamos 0, obtenemos ese mismo número: 0 + 12 = 12.
Elemento opuesto: es el propio número pero cambiado de signo (el opuesto de –7 es 7)
Conmutativa : 11  – 2 = – 2 + 11 = 9    (el orden  no altera la suma)

Dos números son opuestos cuando su suma es 0.
Para hallar el opuesto de un número se le cambia de signo. El opuesto del  17 es  – 17  y  el  de   –14  es 14.

 

Cómo se suman o restan números enteros

 

En primer lugar se quitan los paréntesis, si los hay, utilizando la regla de los signos.
Se suman los números positivos por una parte y los negativos por otra.
Si tiene el mismo signo se suman y se pone el signo que tengan ambos; si tienen distinto signo se restan y se pone el signo del mayor (en valor absoluto):

Ejemplo 1:  7 – ( – 2) + 6 + ( – 11) = 7 + 2 + 6 – 11 = 15 – 11 = + 4  porque  15 es mayor que 11
Ejemplo 2:  8 + 2 + (–13 ) =  8 + 2 –13 = 10 – 13 = – 3      ( |–13| = 13  > 10 )

Cómo se multiplican números enteros


El producto o el cociente de dos números del mismo signo es un número positivo mientras que si son de  distinto signo es un número negativo; es decir:

(+)·(+) = +            (+)·(–) =  – (mas por menos = menos)            (–)·(+) =  –              (–)·(–) =  +

Propiedades:

Interna: El producto de dos números enteros, es otro número entero => 8(–2) = –16  
Asociativa: – 3·(2·9) = (– 3·2)·9 = – 3·2·9 = – 54.
Elemento neutro: El 1, pues si a cualquier número le multiplicamos por 1, obtenemos ese mismo número: –7·1= –7 .
Conmutativa : 8·5 = 5·8 = 40 (el orden  de factores no altera el producto)
Distributiva del producto respecto de la suma: 2(5 – 7) = 2·5 + 2·(– 7) = 10 – 14 = – 4

Nota: En la operación  2(5 – 7)  entre el 2 y el "("  no se suele poner nada, pero se asume que es  un producto.

Con la propiedad distributiva podemos:

Sacar factor común por ambos lados : 15 – 9  = 3(5 – 3) = (5 – 3)3
Quitar paréntesis por la izquierda : 11(2 – 5 + 8) = 11·2 + 11·(–5) + 11·8 = 22 – 55 + 88 = 55

y por la derecha: (7– 3)4 = 7·4  – 3·4 = 28 –12 = 16

 

Cómo se dividen dos números enteros


La división entre dos números enteros  no siempre es otro número entero; sólo lo es cuando el dividendo es múltiplo de divisor y se llama división exacta (el resto de la operación es CERO) .

Se aplica la regla de los signos igual que para la multiplicación. En tema aparte se estudia  la división con números enteros.

La Potenciación con enteros se estudia con detalle en otro tema

Jerarquía de las operaciones (igual que con los números naturales)

Existe un orden o prioridad para efectuar las operaciones

                              
– Corchetes: Cuando hay varios se opera de dentro hacia fuera, aunque con las nuevas tecnologías los corchetes  han ido desapareciendo  y se usan sólo paréntesis
– Paréntesis. Si hay varios paréntesis, se opera de dentro hacia fuera (se hacen primero los más internos)
– Potencias y raíces
– Productos y cocientes
– Sumas y restas.  

Cuando las operaciones tienen la misma  jerarquía, se efectúan según el orden natural de lectura (de izquierda a derecha). Cuando las expresiones son largas, se puede y se debe  hacer varias operaciones a la vez.

 

Ejemplo 3:  48 : 4·3 : 2 = 12·3 : 2 = 36 : 2 = 18        se hace de izquierda a derecha

Ejemplo 4:  48 : (4·3) : 2 = 48 :12 : 2 = 4 : 2 = 2    primero paréntesis siguiendo el orden natural

Ejemplo 5:  48 : (4·3 : 2) = 48 : (12 : 2) = 48 : 6 = 8    primero operación paréntesis siguiendo el orden natural

 

OPERACIONES COMBINADAS

Son expresiones que contienen operaciones de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potencias, en las que para resolver bien, hay que tener en cuenta  la jerarquía de las  operaciones.

 

Ejercicio 1:  3 –20: 4 = 3 – 5 = – 2     (antes de restar  hay que hacer la división)

Ejercicio 2:  –3 + 24: 2 + 4 = – 3 + 12 + 4 = –3 +16 = 13
Ejercicio 3:  –3 + 24: (2 + 4) = – 3 + 24: 6 = –3 + 4 = 1    Primero hacer el paréntesis.

 

Para saber más de operaciones combinadas
 

ACTIVIDADES

1. Opera según se indica:
a)  28 : 7·3 – 2·5 – 1 + (– 15) : – (– 3)·2 + 10     
b) 9 – 6: (2 –4) – (– 18) : (– 3)2·4 – 14 + (– 2)·3
c) – 42: 2 – 2(4 + 3) – 3 [2 – (8+ 6: (– 2))] + 71
d) 15 – [8 – (2 – 10 : 2 + 2)] : 3

 

2. Pon los paréntesis necesarios para que cada expresión de el resultado que se indica

a) 5 + 3·9 + 7     ==>  79                Solución: (5 + 3)9 + 7 = 8· 9 +7 = 72 + 7 = 79
b) 7 + 3·5 – 8      ==>  42
c) 7 + 3·5 + 2     ==>  52
d) 7 + 3·5  + 2    ==>  28
e) 4 + 7·4 – 3     ==>  11

f)  4 + 7·4 – 3     ==>  41
g) 5 + 7·4 – 5    ==>  43