Máximo común divisor y mínimo común múltiplo


Máximo común divisor de dos o más  números: Es el mayor de los divisores comunes. Se  designa  m.c.d. (a, b, c...)

Para hallar el máximo común divisor de varios números se descomponen en factores primos y se toman los comunes y de menor  exponente.


Ejemplo 1: Cuál es el máximo común divisor  de 72  y  60?
Descomposición factorial de 60 y72

Vemos a la derecha la factorización de ambos números:

72 = 23 ·32
                               
y  60 = 22·3·5

Divisores comunes: 2 y  3.        
Menor exponente del   2:  22
Menor exponente del   3:  3      

Luego  m.c.d. (72, 60) =  22·3 = 4·3 = 12

Propiedades:

- Si dividimos dos números por sus m.c.d., los cocientes obtenidos son primos entre sí.
- Los divisores comunes a varios números son los divisores de su máximo común divisor.
- Si el máximo común divisor de dos  números es 1, se dice que son primos entre sí.

Los números 5 y 9 son primos entre sí, ya que m.c.d. (5, 9) = m.c.d. (5, 32) =1.


Mínimo común múltiplo de dos o más números: Es el menor de los múltiplos comunes. Se  escribe m.c.m. (a, b, c...)

Para hallar el mínimo común múltiplo de varios números se descomponen en factores primos y se toman los comunes y no comunes de mayor  exponente. (se toman todos, pero los repetidos sólo el de mayor exponente)

Ejemplo 2:  Halla el mínimo común múltiplo   de 72  y  60
 Hemos visto la descomposición de ambos números:  72 = 23·32      60 = 22 ·3·5
 
Divisores todos (comunes y no comunes) : 2, 3  y  5.        
Mayor exponente del   2:  23
del   3:  32
y del   5:  5        Luego  m.c.m. (72, 60) =  23 ·32·5 = 8·9·5 = 360

Propiedad:  Los múltiplos comunes a varios números son los múltiplos de su mínimo común múltiplo.

- El producto del m.c.d.  por el  m.c.m.  de dos números es igual al producto de dichos números. O sea   m.c.d. (a, b) · m.c.m. (a, b) = a·b

Consecuencias: El m.c.d. (máximo común divisor) de varios números es igual o menor que el  menor de todos ellos; sin embargo el m.c.m. (mínimo común múltiplo) de varios números es  igual o mayor que el mayor de ellos.

 

Ejemplo 3: Halla el m.c.d.  y  m.c.m.  de 90, 235 y 940
La factorización de estos números es: 90 = 2·32 ·5;   235 = 5·47;   940 = 22·5·47

Divisores comunes: 5.
Menor exponente del 5:  51 = 5 (el exponente "1" no se pone). Según esto m.c.d. (90, 235, 940) = 5.    

Todos los divisores (comunes y no comunes): 2, 3, 5 y 47
mayor exponentes del 2:  22
mayor exponentes del 3: 32
del 5:  5
y del 47:   47                            luego  m.c.m. (90, 235, 940) = 22·32·5·47 = 8460.

Ejemplo 4: Determinar los números  x  inferiores a  25  que satisfagan la condición  m.c.d. (x,32) = 4 : explicarlo.
Descomponiendo en factores: 32 = 25  y  4 = 22; como son los factores comunes y de menor exponente de  x  y  32, el número ha de ser de la forma  22·y = 4y  (y  = todos los números  que no contengan el factor 2 en su descomposición factorial, como 3, 5, 7, 9, 11,...)
Luego  x = 4 ; x =  4·3 =12;  x = 4·5 = 20;  4·7 = 28;   los números pedidos son 4, 12 y 20, pues 28 > 25 (no cumple el enunciado).
Por ejemplo 4·6 = 24 no vale pues  6 = 2·3  ( 24 = 23·3 ) y entonces m.c.d. (24, 32) = 23 = 8

Actividad:

Determina el  m.c.d.  y  m.c.m.  de los números: 315 y 675; 144 y 504; 115 y 256; 2205, 2520 y 3150