Números congruentes
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- Categoría: 1º Bachillerato
- Publicado el Martes, 23 Agosto 2011 18:55
- Escrito por Mariano Herrero
Dos números enteros a y b se dice que son congruentes respecto de un número natural (entero positivo) llamado módulo m si las divisiones a/m y b/m dan el mismo resto.
Se escribe a ≡ b mod(m)
Ejemplo: Los números 13 y 21 son congruentes módulo 4, ya que 13/4 nos da 3 de cociente y 1 de resto. Del mismo modo al dividir 21/4 obtenemos 5 de cociente y 1 de resto, por lo tanto verifica la definición anterior
También los números 37 y 51 son congruentes módulo 7, ya que al dividir 37 entre 7 tenemos 5 de cociente y 2 de resto; si dividimos 51 entre 7 tenemos 7 de cociente y 2 de resto.
Por otro lado 37 = 5·7 +2 (Dividendo = divisor·cociente + resto)
y 51 = 7·7 +2
Ahora bien si restamos los dos números 51 - 37 = 7·7 +2 - (5·7 +2 ) = 7·7 +2 - 5·7 - 2 = 7·7 - 5·7 (sacando factor común el 7 queda) = 7(7 - 5) = 7·2 donde 7 es el módulo
De este ejemplo podemos sacar dos conclusiones:
1. La diferencia de dos números congruentes respecto del módulo m es múltiplo de m
2. En toda división entera el dividendo y el resto son congruentes respecto del divisor.
Generalizando tenemos el siguiente Teorema que no demostramos: Dos números son congruentes respecto a un modulo m <==> ( <==> = se lee si y sólo si) su diferencia es múltiplo de m.
Una de las aplicaciones de los números congruentes, son los restos potenciales que hemos utilizado para deducir algunos criterios de divisibilidad.
Cuando se dice que los números número 66 y 198 son divisibles por 33, implícitamente se está diciendo que los números 66 y 198 son congruentes respecto el modulo 33, ya que el resto es CERO. Pero si sumamos 7 a ambos números obtenemos los números 73 y 205 que también son congruentes respecto 33, ya que ambos dan 7 de resto.
Por tanto si a dos números p y q congruentes respecto de un módulo m se suman o restan un mismo número k , los números resultantes siguen siendo congruentes.
Otra aplicación práctica es el calendario perpetuo para saber de forma fácil el día de la semana (lunes, martes, etc..) que corresponde a un día determinado.