Ecuaciones irracionales

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Categoría: 1º Bachillerato
Publicado el Domingo, 04 Diciembre 2011 03:02
Escrito por Mariano Herrero


Son  ecuaciones en las que la incógnita  x  aparece  bajo el signo radical en alguno de sus términos.

Para resolver este tipo de ecuaciones, lo que hacemos es localizar (encontrar) otra ecuación más sencilla que sea equivalente. Para ello distinguimos dos casos:

 

  • Si solo tiene un radical, se aísla éste en un miembro, pasando todo lo demás al otro miembro;  se elevan ambos miembros al cuadrado, con el fin de eliminar el radical. Se reducen términos semejantes y se resuelve la ecuación resultante.
  • Si tiene más de un radical, se deja solo (aísla) uno de ellos en un miembro, pasando todo lo demás (radicales y no radicales) al otro miembro; ahora se elevan al cuadrado ambos miembros. Se reducen términos semejantes y se aísla el nuevo radical en un miembro,  repitiendo el proceso cuantas veces sea necesario; por último se resuelve la ecuación resultante.


Cuando elevamos al cuadrado este tipo de ecuaciones, se introducen soluciones extrañas (las que se obtienen cambiando de signo a uno de los miembros de la ecuación), por lo que es preciso comprobar si las soluciones obtenidas satisfacen la ecuación dada.

Para elevar al cuadrado debemos tener en cuenta el cuadrado de una suma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2   (cuidado con el doble producto que se olvida). Y también  el cuadrado de una diferencia: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

 

Ejemplo 1: Resolver  Ecuación irracional con un solo radical
Como ya está aislado (solo) en un miembro, elevamos al cuadrado los dos miembros: Ecuación irracional al cuadrado un solo radical   ==> 2x + 3 = 25    pasando el  3 al otro miembro con signo  “–“:
2x = 25 – 3 ==> 2x = 22   (el 2 que esta multiplicando a la  x  pasa dividiendo)   ==>  x = 22/2 = 11.

Comprobamos la solución: Ecuación irracional comprobación        Luego x = 11 es solución.

Ejemplo 2: Halla la solución de la ecuación  Ecuación irracional con dos radicales
Tiene dos radicales, uno de ellos ya está aislado; elevando al cuadrado los dos miembros: Ecuación irracional con dos radicales al cuadrado
Cuidado que el primer miembro es el cuadrado de una diferencia (cuadrado del primero – doble del primero por el segundo + cuadrado del segundo) Ecuación irracional operación

Pasando  x + 2  al primer miembro con signo “–"  y  Ecuación irracional operación   al segundo con signo “+" se obtiene  Ecuación irracional operación

Reduciendo términos semejantes:  Ecuación irracional operación
Simplificando por 2 (cuando hay un producto sólo se simplifica uno de los factores):  Ecuación irracional operación  

Como el radical ya está aislado, elevando al cuadrado los dos miembros de nuevo Ecuación irracional operación ==> x2 + 6x + 9 = 4(3x + 4)          (pues al elevar al cuadrado un producto, se eleva cada uno de los factores).
Quitando paréntesis   x2 + 6x + 9 = 12x + 16
Traspasando términos al primer miembro    x2 + 6x – 12x + 9 – 16 = 0 ==> x2 – 6x –7 = 0    ecuación de segundo grado que obtenemos como soluciones   x = 7 y  x = –1

Comprobamos las soluciones:
Con x = 7  tenemos primer miembro:  Ecuación irracional operación
                                segundo miembro:  Ecuación irracional operación      Luego  x = 7 si es solución

 

Con x = –1  tenemos  primer miembro:  Ecuación irracional operación
                                   segundo miembro:  Ecuación irracional operación      Luego  x = –1  NO es solución
Por tanto la única solución válida es  x = 7