Teorema de Rouché-Frobenius

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Categoría: 2º Bachillerato
Publicado el Viernes, 30 Marzo 2012 21:04
Escrito por Mariano Herrero


Permite determinar cómo es un sistema de m ecuaciones con n  incógnitas  (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) sin necesidad de resolverlo, comparando rangos.


El teorema dice: La condición necesaria y suficiente para que un sistema de  m ecuaciones con  n  incógnitas  tenga solución es que el rango de la matriz de coeficientes de las incógnitas sea igual al rango de la matriz formada por dicha matriz ampliada con la columna de términos independientes.

Si alguna incógnita no existe el coeficiente correspondiente es  0.

Rango de una matriz  es el número de filas o de columnas linealmente independiente. Si lo hacemos con determinantes el mayor orden de los menores no nulos.

Llamando  r(A) al rango de la matriz de coeficientes  formado por los coeficientes de las incógnitas  y  r(A*) o  bien  r(A/B)  al rango de la matriz ampliada (la misma matriz anterior con otra columna que es la de términos independientes del sistema),  tenemos varios casos:

 - Si  r(A) = r(A/B) => sistema compatible, que a su vez puede ser:

       - Si  r(A) = r(A/B) = número de incógnitas => el sistema es compatible determinado (solución única)
       - Si  r(A) = r(A/B) < número de incógnitas  => el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones)

 - Si  r(A) ≠  r(A/B)  =>  sistema incompatible (no hay solución).

El rango  nunca puede ser mayor que el número de incógnitas (por su propia definición).


NOTAS:

En general se empieza hallando el rango de una matriz cuadrada, bien sea de la matriz de coeficientes o de la ampliada, según convenga en cada caso.

Para ello tenemos dos métodos:

- En general la mejor opción es por determinantes:
 
Se toma un menor de orden  2 ≠ 0 (con lo que rango al menos  2), a poder ser que no dependa de ningún parámetro (las dos ecuaciones  correspondientes a ese menor son linealmente independientes).
Ese menor de orden  2  se va ampliando a los posibles menores de orden 3. Si hay alguno distinto de CERO, entonces el rango  es  3 (las tres ecuaciones  correspondientes a ese menor son linealmente independientes). Y así  sucesivamente.

- Por Gauss, cuando en el sistema formado por las incógnitas aparece sólo un parámetro y en una sola posición (aparece solo una vez). Tiene la ventaja que simultáneamente tenemos casi resuelto el sistema.

Un sistema homogéneo siempre es compatible.


Siempre se verifica que  r(A) = r(A/B)  pues la columna de términos independientes está formada toda ella por CEROS.

Algunos ejemplos con la aplicación del teorema: se discute sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas