Divisibilidad por 23

 

Criterio de divisibilidad por 23:


Los divisores de 23 son 1 y 23, porque es primo.
Los múltiplos de 23 son: 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207, 230, ..., 368, 391, 414, 437, 460, 483,...

Criterio 1Un número es divisible por 23 si cuando le "quitamos o retiramos" su última cifra (de las unidades), la suma del número resultante y  7 veces esa última cifra es 0 o múltiplo de 23. Este método es recurrente.  

Ejemplo 1: Estudiar si 416282 es divisible por 23.
Si "quitamos" la última cifra 2, el resultado es 41628 ( decenas)  y  2 (unidades)  y aplicando regla:
41628 + 7·2 = 41642              repetimos el proceso con este resultado
                                                "retiramos " la última cifra 2 (unidades), quedando  4164 (decenas)  y 2:
4164 + 7·2 = 4178            "suprimiendo" el 8 (última cifra) se obtiene 417 (decenas) y  8:
417 + 7·8 = 473               
47 + 7·3 = 68         que no es divisible por 23 , luego  416282  tampoco lo es.

Ejemplo 2: Estudia si  21735 es divisible por 23
"Quitamos" la última cifra 5 (unidades), el resultado es 2173 (decenas)  y  5; fijando criterio:
2173 + 7·5 = 2208          repetimos  y "retirando" la última cifra 8, se tiene 220 (decenas) y  8:
220 + 7·8 = 276            
27 + 7·6 = 69     que  es múltiplo  de 23,   luego  21735 es divisible por 23.

Hacemos la demostración del criterio: Multiplicando por 7 el axioma 1  queda   7N = 70x +7y         
Ahora resto 69x quedando:   7N – 69x =  x +7y       (69x = 23·3x  es múltiplo de 23).
y   x + 7y    también.

46, 92, 115,  253, 276, 299, 322, 345, 529 y 552  son divisibles por 23.

Estudio de Criterios de divisibilidad por   2, 3, 4, 5-10  –7–     –11–   –13–    –17–    –19–    –37–    –41–

Regla del 23:

                               La serie de restos potenciales respecto a 23 es: 1, 10, 8, 11, –5, –4, 6, –9, 2, –3, –7, , –1, –10, –8, –11, 5, 4, –5, 9, –2, 3, 7

Dado un número decimos que  es divisible por 23 cuando la suma de los productos de dos factores (primer número de la serie por la cifra de las unidades del número dado, segundo número de la serie por la cifra de las decenas, tercer número de la serie por la cifra de las centenas,...) es 0 o múltiplo de 23.

Ejemplo 3: ¿Es divisible por 23 el número 720315?
El número tiene 6 dígitos, por consiguiente tenemos que utilizar los seis primeros números de la serie.
Aplicando criterio la suma: 1·5 + 10·1 + 8·3 + 11·0 +(–5)2 + (–4)7 = 5 + 10 + 24 + 0 – 10 – 28 = 39 – 38 = 1  no es múltiplo de 23, por tanto  720315  no es divisible por 23.

Ejemplo 4: Prueba que 8717 es divisible por 23.
Hacemos la suma de estos productos: 1·7 + 10·1 + 8·7 + 11·8 = 7 + 10 + 56 + 88 = 161

Reiteramos el método con este resultado, cuya suma:  1·1 + 10·6 + 8·1 = 1 + 60 + 8 = 69   es múltiplo de 23, por tanto  720315  es divisible por 23.