Criterio de divisibilidad por 47
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- Categoría: ESO
- Publicado el Domingo, 25 Septiembre 2011 23:15
- Escrito por Mariano Herrero
Divisibilidad por 47:
Los divisores de 47 son 1 y 47 (pues es número primo).
Los múltiplos de 47 son: 94, 141, 188, 235, 282, 329, 376, 423, 470, 517,..., 752, 799, 846, 893, 940, 987,...
Para revisar otras normas de divisibilidad por " 7" " 8 " "11 " " 13" "17" "29" "33" "43"
Criterio 1: Los restos potenciales módulo 47 forman la sucesión 1, 10, 6, 13, –11, –16, –19, –2, –20, –12, 21, 22, –15, –9, 4, –7, –23, 5, 3, –17, 18, –8, 14, –1, –10, –6, –13, 11, 16, 19, 2, 20, 12, –21, –22, 15, 9, –4, 7, 23, –5, –3, 17, –18, 8, –14.
Un número es divisible por 47 si la suma de efectuar los productos de los números progresivos de la sucesión 1, 10, 6, 13, ..., por el dígito de las unidades, decenas, centenas, millares,... del número a determinar es 0 o múltiplo de 47.
Ejemplo 1: Demuestra que 3391426 es divisible por 47.
Emplearemos los 7 primeros números de la sucesión porque esos son los dígitos que tiene el número.
Hacemos la suma: 6·1 + 2·10 + 4·6 + 1·13 + 9(–11) + 3(–16) + 3(–19) = 6 + 20 + 24 + 13 – 99 – 48 – 57 = 63 – 204 = 141.
Si lo consideramos grande repetimos el proceso. Ahora la suma es:
1·1 + 4·10 + 1·6 = 1 + 40 + 6 = 47, en consecuencia 3391426 es divisible por 47.
Regla o Criterio del 47:
Suprimimos (quitamos...) los dos últimos dígitos (cifras) de un número; al resultado obtenido sumamos esos dos últimos dígitos suprimidos anteriormente multiplicados por 8. Si este nuevo número hallado es divisible por 47, también lo es número primitivo. Esta regla es recurrente.
Ejemplo 2: Averigua si 9031542 es divisible por 47.
Cuando "eliminamos" las dos últimas cifras 42, se obtiene 90315 y 42; se denota 90315·100 + 42; aplicamos regla:
90315 + 8·42 = 90651 "quitando" las dos últimas cifras 51, se obtiene 906 (centenas) y 51
906 + 8·51 = 1314 de nuevo "separamos" 14 (dos últimas cifras ) quedando 13 (centenas) y 14.
13 + 8·14 = 125 que no es múltiplo de 47 (47·2 = 94 y 47·3 = 141), luego 9031542 no es divisible por 47.
Demostramos este criterio: Teniendo en cuenta axioma2, multiplicando la ecuación por 8 y restando 799x (47x·17) obtenemos 8N – 799x = x + 8y
Criterio 3: "Elimina" (retira) la cifra de las unidades (última cifra) al número; multiplica esa cifra de las unidades por 14 y réstalo del número obtenido (cuando se elimina la última cifra). Si este nuevo resultado es 0 o múltiplo de 47, también lo es el número original. Si se requiere se reitera dicho criterio.
Ejemplo 3: Estudiamos si 59317841 es divisible por 47.
Cuando "eliminamos" el última cifra 4, se obtiene 5931784 (decenas) y 4 y aplicando criterio:
5931784 – 14·1 = 5931770 "retirando" el 0 (último dígito) queda 593177 (decenas) y 0
593177 – 14·0 = 593177 se "quita" el 7, y tenemos 59317 (decenas) y 7
59317 – 14·7 = 59219 ahora "suprimimos" la última cifra 9, y se genera 5921 y 9
5921 –14·9 = 5795
579 – 14·5 = 509
50 – 14·9 = – 76 que no es múltiplo de 47, luego 59317841 no es divisible por 47.