Sistema homogéneo indeterminado

Resolver el sistema Sistema lineal de 3x3 homogéneo indeterminado

 

Se ha estudiado en otro tema los sistemas lineales homogéneos. Hemos conocido que en este tipo de sistemas el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada son siempre iguales;  hallemos  dicho rango por Gauss y a la vez  la solución.
Con el fin de hacer CEROS por debajo de la diagonal principal, realizamos las trasformaciones indicadas en cada paso.


Sistema 3x3 homogéneo indeterminado resuelto por gauss

 

Observamos que la tercera fila son CEROS todos sus elementos, luego r(A) = 2 < nº de incógnitas ==> el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones, entre ellas la solución trivial  x = y = z = 0).

El sistema equivalente es: Sistema 2x2 equivalente al dado

 

Ya  que tenemos 3 incógnitas y el rango es 2 (número de ecuaciones linealmente independiente), las soluciones  x, y, z  dependerán de un parámetro que elegimos como  t.

Llamando  z = t  y empleando el método de sustitución, despejamos la  y  de la 2ª ecuación ==>  y = 2z,  queda   y = 2t
Despejando la  x  de la 1ª ecuación ==>  x = y – z  (en función de t) = 2t – t = t
Luego las infinitas soluciones son  x = t; y = 2t; z = t  que se hallan dando valores a  t € R.

Así, si hacemos  t = 0, obtenemos la solución trivial  x = y = z = 0. Si  t = 2  conseguimos  la solución  x = 2; y = 4; z = 2