Ejemplo de ecuación diofántica


Con cien duros compré cien puros, de cinco duros, de real y de duro¿ Cuántos puros compré de cada clase?


Para una buena compresión del ejercicio empezamos aclarando el enunciado en el aspecto monetario:

Un duro es el nombre coloquial  que se daba a la moneda española de 5 pesetas (el 1 de enero de 2002 entró en circulación en la Eurozona el euro equivalente a 166,386 pesetas); entre sus múltiplos se encuentra los cinco duros, diez duros y veinte duros equivalentes a  25, 50 y 100  pesetas respectivamente.

Un real son 25 céntimos de peseta; o sea que 4 reales hacen una peseta.

Pasamos al planteamiento propiamente dicho:

Sea  x  el número de puros que compré de cinco duros.
  “      y           “                 “                    “         real
  “      z           “                 “                    “         duro.

La suma de todos los puros es 100  => x + y + z = 100.

Ahora vamos con las monedas (deben pasarse a una misma unidad y utilizamos como unidad el duro = 5 pesetas):
Puros de 5 duros: 5x
Puros de real: y/20   (un duro equivale a 20 reales).
Puros de duro: z

Pero como también son 100 la suma de las monedas usadas => 5x + y/20 + z = 100

Nos topamos con dos ecuaciones con tres incógnitas  Sistema de 2x3 para resolver como e. diofántica ,  y según lo que hemos estudiado, el sistema es compatible indeterminado.

Igualando ambas ecuaciones obtenemos: x + y + z =  5x + y/20 + z = 100

Restando ambas: – 4x + 19/20y = 0  => (quitando denominadores) => –80x + 19y = 0  => 80x –19y = 0  

Se ha reducido a una ecuación con dos incógnitas (una recta).
Pero dado las características del enunciado, el conjunto de soluciones está en el conjunto de los números naturales y usaremos las ecuaciones diofánticas para su resolución.

Para  ello hallamos una solución particular y a partir de ella la solución general:

Despejamos la y  por tener el coeficiente más pequeño:   y = 80x/19.
Efectuamos la división: 80x/19 = 4x de cociente y  4x de resto  => y = 80x/19 = 4x + 4x/19.

Para que  4x/19 sea entero (19 es número primo) => x = 19  => y = 4·19 + 4 = 80.

Como caso particular también vale: x = 0, => y = 0 => despejando  z  de la 1ª ecuación: z = 100 –x – y = 100 (todos los puros de duro)

Solución general:
 
La ecuación es : 80x – 19y = 0
Puesto que x = 19; y = 80; es una solución, deben satisfacer la ecuación: 80x – 19y = 0  => 80·19 – 19·80 = 0
Restando y sacando factor común: 80(x – 19) – 19(y - 80) = 0 =>  80(x – 19) =19(y – 80)

=> Solución general de ecuación diofántica

Despejando  z  de la 1ª ecuación:  z = 100 –x – y = 100 = –19 –80t –80 –19t = 1 –99t

Luego solución general: x = 19 + 80t; y = 80 +19t; z = 1 –99t

Si  t = 0 => x = 19; y = 80; z = 1  (presisamente la ecuación particular hallada anteriormente).
Si  t = 1 => x = 99; y = 99; z = – 98  => No tiene sentido
Si  t = 2 => x = 179; y = 118; z = – 197  => Según crece t, las soluciones son más disparatadas.
Si  t = –1 => x = – 61; y = 61; z = 100  => No tiene sentido.
Si  t = –2 => x = –141; y = 42; z = 199  => No tiene sentido.

Concluyendo:  una solución es: x = 0; y = 0; z = 100  (solución  casi evidente, 100  puros de duro)
 La solución aceptada como buena: x = 19 ; y = 80; z = 1  => 19 puros de 5 duros, 80 de real y 1 de duro.