Regla de Cramer para sistemas

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Categoría: 2º Bachillerato

Publicado el Jueves, 22 Noviembre 2012 20:47

Escrito por Mariano Herrero

Sea un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:
=> X = A^-1·B.       Para que exista A^-1 es necesario que det(A) ≠ 0.

Por tanto permite resolver un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas mediante determinantes.

Si det(A) ≠ 0, => entonces rango (A) = n  y rango (A/B) = n; luego según el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado

Determinante del sistema es el determinante formado por los coeficientes de las incógnitas. Lo designamos por  Δ = det(C₁, C₂, C₃, ..., C_n) = det(A)  donde  C₁, C₂, C₃, ..., C_n  son los coeficientes de la columna 1, columna 2,... de la matriz A

Determinante de una incógnita es el determinante que resulta de sustituir en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de dicha incógnita por la columna de los términos independientes.
Se designa por   Δx₁ = det(B, C₂, C₃, ..., C_n)  para la incógnita x₁
                              Δx₂ = det(C₁, B, C₃, ..., C_n)  para la incógnita x₂
                               .....
                              Δx_n = det(C₁, C₂, C₃, ..., B)  para la incógnita x_n

En estas condiciones la solución es:


Por Cramer, se pueden resolver todo sistema compatible de  m  ecuaciones y  n  incógnitas:
Sea el rango  r.

Si  m > r entonces al menos “sobran” (m – r) ecuaciones, las correspondientes a las filas  F_r+1, F_r+2,..., F_m; por tanto se pueden suprimir, pues son combinación lineal de las  r  primeras ecuaciones. El problema es encontrar las (m – r) ecuaciones
Entonces si:
  - Si  r = n (det(A) ≠ 0, nº de ecuaciones = nº de incógnitas) => Sist. compatible Determinado, con solución única.
  - Si  r < n (det(A) = 0, nº de ecuaciones < nº de incógnitas)
       ♦ Si Δx₁ = Δx₂ = Δx₃ = Δx_n = 0 => En general sist. indeterminado, (en raras ocasiones es incompatible)
         Para resolverlo se pasan al segundo miembro las incógnitas x_r+1, x_r+2,..., x_n. Las  soluciones  x₁, x₂,..., x_r dependerán de (n – r) parámetros.
      ♦ Si Δx_i ≠ 0, para algún i =1, 2,...n => Sistema incompatible (no hay solución)
Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones lineales:
El determinante del sistema es:
Δ = det(A) = =2·( –1)·1 + 5·4(–1) + 1·1·5 – (–1)( –1)·1 – 5·4·2 – 1·1·5 = –2 – 20 + 5 – 1 – 40 – 5 = – 63 ≠ 0
Así pues rango(A) = rango(A/B) = 3 (nº de incógnitas) => Sistema Compatible Determinado con una única solución.
La solución del sistema es:
Solución : x = 5; y = 4; z = –1

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